SynologyNASからSynologyNASへ移行する際、QuickConnect IDも引き継ぐことは可能でしょうか？

可能です。
1.移行先NASで[コントロールパネル] > [QuickConnect]を選択します。
2.[QuickConnectを有効にする]にチェックマークを付けます。
3.元のNASで使用したのと同じSynologyアカウントを使用して移行先NASにサインインします。
※ただし移行NASで元と同じQuickConnect IDを有効にすると、QuickConnectサービスは元のNASで自動的に無効になります。