以前使用していたNASにはTrashboxがありましたが、Synologyはtrashboxの機能はないのでしょうか？

Synologyにはゴミ箱機能があり、コントロールパネル＞共有フォルダ＞全般の「ゴミ箱を有効にする」にチェックを入れていただくことで利用可能です。