Synologyのごみ箱機能は利用したいが、一般ユーザにゴミ箱フォルダを見せない運用をしたい。設定は可能でしょうか。

可能です。下記手順となります。
①[コントロール パネル] > [共有フォルダ] の順に選択します。共有フォルダを選択し、[編集] をクリックします。
②[ごみ箱を有効にする] のチェックボックスにチェックマークを付けます。
③administrators だけがごみ箱にアクセスできるようにするには、[管理者のみにアクセスを許可する] にチェックマークを付けます。
④[OK] をクリックして、設定を保存します
https://www.synology.com/ja-jp/knowledgebase/DSM/help/DSM/AdminCenter/file_share_recycle