Synologyのアプリケーションは、Synologyがインターネット接続されていなくてもインストールは可能でしょうか。

インターネット環境無しでも一部インストール可能です。
まず、インターネットのつながる別のPCから事前に.spkファイルをダウンロードします。
Synologyのホームページ＞サポート＞ダウンロードセンター＞製品タイプ選択＞型番選択＞パッケージ＞※欲しいアプリの.spkファイルダウンロード。
NAS側では、パッケージセンターを開き、手動インストールボタンを押し、.spkファイルの展開を行ってください。詳細は下記をご参照ください。
パッケージを手動インストール